Suat Kaya, futbola 1979'da Galatasaray'in altyapisinda başladı. 1986'da Galatasaray Profesyonel Futbol Takımına yükseldi. 1987-1992 yılları arasında Konyaspor'da oynadı. 1992-93 sezonunda yeniden Galatasaray'a dönen Hugo lakaplı futbolcu, 2002-03 sezonu sonunda jübilesini yaptı.
351 maçta 44 gol atan Suat Kaya, Bülent Korkmaz ve Hakan Şükür'le birlikte Türkiye Süper Ligi'nde en çok şampiyonluk gören (8 kez) futbolcu olarak tarihe geçti. Galatasaray'la UEFA Kupası ve Süper Kupa şampiyonluğu da yaşadı.