Aöf 1. Sınıf Matematik Ders Notları
Özdeşlik, Denklemler ve Eşitsizlikler
( # ) Parantez Açılımları
a ( x + b ) = ax + b Örnek: 4 ( x + 5 ) = 4x + 20
x ( x + a ) = x² + ax Örnek: 3x ( x + 2 ) = 3x² + 6x
Örnekleri çoğaltabilirsiniz.
( # ) Ortak Parantez Alma
x² + ax = x.x + a.x = x ( x + a )
Örnek: x² - x = x.x - 1.x = x ( x- 1 )
Örnekleri çoğaltabilirsiniz.
( # ) Tam Kare
Tam karenin hikayesi şudur: 1. karesi + 1. ile 2.'nin çarpımının 2 katı + 2.'nin karesi
Denklem ( x + k )² olsun.
Formül olarak ise x² - 2kx + k² ' dir.
Örnek: ( x + 2 )² = x² + 4x + 4
Örnekleri çoğaltabilirsiniz.
( # ) İki Kare Farkı
Genel formülü, x² - a² = ( x - a )( x + a ) 'dır.
Örnek: x² - 4 = ( x - 2 )( x + 2 )
Örnek: x² + 4 = ifadesinin özdeşi yoktur.
Örnekleri çoğaltabilirsiniz.
( # ) İki Küp Toplamı ve Farkı
x³ + y³ = ( x + y )( x² - xy + y²) veya x³ - y³ 0 ( x -y )( x² + xy + y² )
Örnek: x³ + 8 = ( x + 2 )( x² - 2x + 4 )
Örnekleri Çoğaltabilirsiniz.
( # ) Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a ve b bir sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere,
ax + b = 0 birinci dereceden denklemdir.
Not: Birinci dereceden denklemi çözmek için x'i yalnız bırakıp eşitliğin diğer tarafındaki sayıya bölmek gerekir.
Not: Eşitliğin her iki tarafında da x değeri varsa eğer; x'li olan değerler bir tarafa, tam sayılar ise bir tarafa toplanarak işlem yapılır.
Örnek: 5x - 6 = 2x + 6 denkleminde x kaçtır.
5x - 2x = 6 + 6 ( x'li ifadeleri bir tarafa tam sayılı ifadeleri bir tarafa topladık)
3x = 12
x = 4 olarak bulunur.
Örnekleri Çoğaltabilirsiniz.
Not: Denklemimizde kesirli ifade varsa eğer, önce kesirden kurtarmamız gerekir. Kurtardıktan sonra denklemi çözebiliriz.
Örnek: 1/4 ( x - 1 ) = 2 denkleminde x kaçtır.
4.1/4 ( x - 1 ) = 2.4 ( Kesirden kurtarmak için eşitliğin her iki tarafını da payda ile çarptık. )
( x - 1 ) = 8 ( Denklemi çözebiliriz. )
x = 9
( # ) İkinci Dereceden Denklemler
a, b, c sayı olmak üzere ax² + bx + c = 0 şeklindeki ifade 2. dereceden denklemdir.
Örnek: x² + x - 6 ifadesinde a:1 b:1 c:-6'dır.
( # ) Kökleri Bilinen 2. Dereceden Denklemi Bulma
Kökleri a ve b olan 2.dereceden denklem ( x - a )( x - b ) = 0 şeklinde gösterilir. Buradan yola çıkarak formülü yazacak olursak ( x - 1.Kök )( x - 2.Kök ) = 0 olarak ifade edebiliriz.
Örnek: Kökleri 4 ve 6 olan 2.dereceden denklemi yazalım;
( x - 4 )( x - 6 ) = 0
x² - 6x - 4x + 24 = 0
Örnekleri çoğaltabilirsiniz.
( # ) Kökleri Bilinen 2. Dereceden Denklemi Bulma
x4 - 3x² - 4 = 0 denklemi üzerinden gidecek olursak,
Öncelikle kolaylık olması için x²'ye "t" diyelim. Bu, soruyu çözerken kolaylık sağlayacaktır.
x4 - 3x² - 4 = 0
t² - 3t - 4 = 0 olarak yazılır ve gerekli işlemler yapılıp t değeri bulunur.
( # ) Eşitsizlikler
Not: **** veya **** sembolleri hem büyük/küçük hem de eşit anlamı taşımaktadır. Karıştırmayınız.
a, b £ R ve a sıfırdan başka bir sayı olmak üzere ax + b > 0 veya ax + b < 0 ( ax + b **** 0 veya ax + b **** 0 ) şeklindeki ifadelere 1. dereceden eşitsizlik diyoruz.
Not: "**** veya ****" olan tarafta parantez köşelidir "[ ]" ama "> veya <" var ise parantez normaldir. " ( ) "
Not: Eşitsizlik konusunu denklemler ile hemen hemen aynıdır.
Not: Bir eşitsizlik negatif sayı ile çarpılır veya bölünürse işaret yön değiştirir.
Örnek: 5x - 4 < 4x - 4 eşitsizliğinde x kaçtır.
5x - 4x < -4 + 4
x < 0 olarak çözeriz.
( - sonsuz, 0 )
Örnek: 3x + 5 **** 5x - 11 eşitsizliğinde x kaçtır.
3x - 5x **** - 11 - 5
- 2x **** - 16
x **** 8 ( "-" ile bölündüğünden dolayı işaret değişti. )
( - sonsuz, 8 ]
Örnek: - 3 **** 6x - 15 **** 3 eşitsizliğini çözecek olursak.
- 3 **** 6x - 15 **** 3
-3 + 15 **** 6x **** 3 + 15
12 **** 6x **** 18
2 **** x **** 3 ( 2 ile 3 arasındaki sayılardır.) [2, 3]
Örnekleri çoğaltabilirsiniz.
( # ) İkinci Dereceden Eşitsizlikler
Örnek: x² - 3x **** 0 köklerini bulalım.
İlk kökü 3'tür. İkincisi ise 0'dır. [3, 0] olarak ifade edilir.
Örnekleri çoğaltabilirsiniz.
( # ) Köklü Denklemler
Örnek:Karekök içinde x - 3 = x + 4
çözmeden önce kareköklü ifadeyi karekökten çıkarmak için eşitliğin her iki tarafının karesini almalıyız. Devamına bakalım,
x - 3 = ( x + 4 )² denkliğinden
x - 3 = x² + 8x + 16
x - 3 - x² - 8x - 16 = 0
x² + 19 + 9x = 0 'dır.
Örnekleri çoğlatabilirsiniz.
alıntıdır
Alıntı